симметрия

1. Симметрия в геометрии [ ред. | ред. код ]
2. Зеркальная симметрия [ ред. | ред. код ]
3. Симметрия вращения [ ред. | ред. код ]
4. Центральная симметрия [ ред. | ред. код ]
5. Трансляционная симметрия [ ред. | ред. код ]
6. Скользящая симметрия [ ред. | ред. код ]
7. Симметрия в кристаллографии [ ред. | ред. код ]
8. Симметрия в архитектуре и искусстве [ ред. | ред. код ]
9. Симметрия в социальных взаимодействиях [ ред. | ред. код ]

Симетрíя (от греч. συμμετρεῖν - мерить вместе) - свойство объекта воспроизводить себя при определенных изменениях, преобразованиях или трансформациях, которые называются операциями симметрии . Различают симметрию тел, симметрию свойств и симметрию отношений [1] .

Симметрия - прежде всего геометрическое понятие , Однако оно применяется также по негеометричних объектов в математике в общем, других науках : физике , химии , биологии И в других областях человеческой деятельности: философии , эстетике , социологии , искусстве тому подобное.

Отсутствие симметрии называют асимметрией . С другой стороны, срок антисимметрии описывает своеобразный вид симметрии.

Истоки понятия симметрии уходят далеко в прошлое во времена Вавилона , древнего Египта и древней Греции . Уже в V веке до н. е. большой философ и геометр Пифагор учил: «Число есть сущность всех вещей и организация Вселенной в ее определениях представляет собой вообще гармоническую систему чисел и их отношений» [2] . Этим Пифагор хотел подчеркнуть важнейшую сторону построения мира - это его упорядоченность, организованность, симметрию, а значит и красоту. Однако вплоть до XIX-го века симметрия как самостоятельный объект исследования не привлекала ученых, она представлялась как нечто само собой разумеющееся, общеизвестное, не подлежит изучению. В XIX-XX веках принцип симметрии приобрел существенное значение, особенно в физике и математике.

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. По этому поводу хорошо высказался французский архитектор Ле Корбюзье. В своей книге «Архитектура ХХ века» он писал: «Человеку необходимо порядке, без него все ее действия теряют согласованность, логическая взаимосвязь. Чем совершеннее есть порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Она делает умозрительные построения, основываясь на порядке, продиктован ей потребностями его психики, - это творческий процесс. Творчество является актом благоустройства » [3] .

Симметрия в геометрии [ ред. | ред. код ]

геометрическая фигура симметричная, если существуют преобразования, при которых ее точки меняют свое расположение на плоскости или в пространстве, однако фигура накладывается сама на себя. Если части такой фигуры накладываются на другие части, то эти части называют симметричными между собой. В зависимости от типа преобразований различают разные виды симметрии.

Зеркальная симметрия [ ред. | ред. код ]

Зеркальной называется симметрия относительно операции отражение относительно плоскости или, в планиметрии, линии . В планиметрии этот тип симметрии называют осевой .

Симметрия вращения [ ред. | ред. код ]

Симметрией вращения называется симметрия относительно поворота на определенный угол относительно определенной линии, которая называется осью вращения. Если фигура симметрична относительно поворота на любой угол, ее называют аксиально-симметричной. Примером аксиально-симметричной фигуры является круг , А в трехмерном пространстве - цилиндр вращения .

Если фигура симметрична относительно поворота только на определенные углы, тогда величина этих углов определяется формулой 2 π / N {\ displaystyle 2 \ pi / N} , Где N целое число, поскольку при повороте на угол 2 π {\ displaystyle 2 \ pi} фигура всегда накладывается сама на себя. Соответствующие оси вращения называют осями симметрии N-го порядка.

Центральная симметрия [ ред. | ред. код ]

Геометрическая фигура имеет центральную симметрию по определенной точки, называется центром симметрии, если для любой точки фигуры существует другая точка, расположенная на линии, соединяющей данную точку с центром, с другой стороны от центра на одинаковом расстоянии.

В планиметрии, для двумерной фигуры, центральная симметрия эквивалентна существованию оси вращения второго порядка, то есть симметрии относительно поворота на 180 °. В стереометрии, для трехмерной фигуры, центральная симметрия является симметрией по составленной операции - поворота на 180 ° относительно произвольной оси, проходящей через центр симметрии, и зеркального отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси.

Трансляционная симметрия [ ред. | ред. код ]

трансляционной симметрией называют симметрию относительно параллельного переноса в определенном направлении на определенное расстояние. Трансляционные симметрию имеют решетки. Предельным случаем трансляционной симметрии является однородность пространства. Однородный пространство накладывается сам на себя при произвольном смещении.

Скользящая симметрия [ ред. | ред. код ]

скользящая симметрия - комбинация отражение относительно прямой и переноса на вектор параллелен этой прямой. Изменение порядка операций дает такой же результат. Отсюда, можно считать отражение частным случаем скользящей симметрии с нулевым вектором параллельного переноса.

Раздел математики, изучающий общие свойства операций симметрии, называется теорией групп . Поскольку многие группы гомоморфные группе матриц , То общие свойства симметрии конкретного математического объекта часто сводятся к симметрии матриц.

Матрицы, в частности, могут быть симметричными или кососиметричнимы по операции транспонирования . Для матриц с комплексными элементами, эти понятия узалальнени как Эрмит и косоермитови матрицы .

Понятие симметрии играет большую роль в физике. Прежде всего следует отметить пространственную симметрию, которой могут характеризоваться физические объекты. Здесь следует различать симметрию относительно трансляции, симметрию относительно зеркального отражения, симметрию относительно поворотов, винтовую симметрию и т.д. [4] . Особым видом симметрии является изотропность - независимость свойств физической системы от направления, однородность - независимость свойств физической системы от точки пространства.

Специфическим для физики видом симметрии является инвариантность физических законов относительно выбора системы отсчета , Которая лежит в основе теории относительности . Другим видом симметрии, который встречается в физике есть симметрия относительно замены направлении координатных осей, лежит в основе принципа четности .

Симметрия свойств квантовомеханическую системы по перестановки частиц местами лежит в основе тождественные частицы .

Для многих физических систем также характерны свои особые скрытые типы симметрии. В физике элементарных частиц это, в частности, калибровочная инвариантность - симметрия частиц относительно определенного типа преобразований, благодаря которой можно установить внутреннюю структуру в большом количестве открытых физиками элементарных частиц . Существуют гипотезы симметрии между двумя фундаментальными типами частиц: бозонами и фермионами , Которые получили название суперсимметрии .

по теоремой Нетер каждой симметрии физической системы соответствует интеграл движения . В результате симметрии Вселенной связаны с законами сохранения .

Несмотря на важность симметрии в физических процессах, мир, в котором мы живем, в определенных аспектах существенно несимметричный. Например, в известной нам Вселенной существует преимущество частиц над античастицами . эта асимметрия возникла на ранних этапах развития Вселенной во время бариогенезис и лептогенезису . Ее причины до сих пор не ясны. слабое взаимодействие несимметричная относительно хиральности , То есть правозакручености и ливозакручености частиц, в частности, нейтрино [5] . Современные физические теории пытаются объяснить возникновение такие явления спонтанным нарушением симметрии .

Другая существенная асимметрия в физике связана с «стрелой времени», то есть с тем, что Вселенная движется от прошлого к будущему. Эта асимметрия по замене направления времени проявляется в втором законе термодинамики , Утверждении о неубывания энтропии в изолированных системах .

Симметричность - важнейшая характеристика телосложения животных это свойство организма состоять из частей , которые зеркально повторяются и расположены вдоль воображаемой плоскости, проходящей через тело . Тип симметрии определяет не только общее строение тела, а возможность развития систем органов животные. Если тело животного можно мысленно разделить на две половины, правую и левую, то такое животное называют двобичносиметричною. Этот тип симметрии свойственен большинстве видов животных, а также человека. Если тело животного можно мысленно поделить не одной, а несколькими плоскостями симметрии (мнимыми зеркалами) на равные части, то такое животное называют радиально-симметричной. Этот тип симметрии случается значительно реже. Радиально-симметричные животные имеют более простую строение, передвигаются медленно - ползанием. У таких животных отсутствуют высокоразвитые органы чувств и сложные системы органов. Незначительная их подвижность, пассивный образ жизни не способствуют развитию систем органов и совершенствованию нервной регуляции организма.

Актиноморфия (от др.-греч ἀκτίς ( «actis») - луч и μορφή ( «morphe») - форма, лат. actinomorphia) - явление, когда через орган можно провести не менее двух плоскостей симметрии.

Зигоморфия (от др.-греч ζυγόν ( «zygon») - ярмо и μορφή ( «morphe») - форма, лат. zygomorphia) - явление, когда через орган можно провести только одну плоскость симметрии.

асимметрия ( лат. asymmetria) - явление, когда через орган нельзя провести ни одной плоскости симметрии.

Молекулярная симметрия - свойство строения молекул , Которая проявляется в том, можно ли какие-либо части молекулы поменять местами без изменения ее вида в целом. Если так, то молекула является симметричной, а такие части эквивалентны по симметрией [6] .

Существует четыре способа совмещения эквивалентных частей молекулы, называют операциями симметрии [7] .

1. Простое вращение вокруг оси, проходящей через молекулу на угол 2π / n. Эту операцию называют собственным вращением и обозначают Cn. Очевидно, что если ее повторить n раз, молекула, пройдя все положения, вернется к исходной ориентации.

2. Отражение всех атомов в плоскости, проходящей через молекулу. Эту операцию называют отражением и обозначают σ.

3. Отражение всех атомов через центр молекулы. Эту операцию называют инверсией и обозначают i.

4. Комбинация в произвольном порядке вращения молекулы вокруг оси, проходящей через молекулу, на угол 2π / n и отражение всех атомов в плоскости, которая является перпендикулярной к оси вращения, называют несобственным вращением и обозначают Sn

Симметрия молекул играет фундаментальную роль в молекулярной спектроскопии, позволяет проводить классификацию уровней энергии молекул, определить правила отбора для молекул, существенно упростить аналитические и численные расчеты внутренних энергий и вероятностей переходов молекул. Понятие молекулярной симметрии, применяется на молекулярном уровне, обычно не учитывает знаки ядерных спинов, существенных в явлениях ядерного магнитного резонанса .

Симметрия в кристаллографии [ ред. | ред. код ]

Симметрия в кристаллографии - закономерность в расположении граней, ребер и вершин кристалла , Благодаря которой он несколько равных частей. Плоскости, прямые, точки, которыми пользуются для выявления симметрии кристаллов, называют элементами симметрии.

Простейшими элементами симметрии является плоскость, которая делит кристалл на две зеркально равные части, и ось - прямая линия, при повороте вокруг которой несколько раз повторяются равные части кристалла. Полная совокупность элементов симметрии конечной фигуры называется видом симметрии. Доказано, что в кристаллографии возможные 32 вида симметрии, которые объединяются в 7 сингоний [1] .

Симметрия в архитектуре и искусстве [ ред. | ред. код ]

Симметрия - один из видов гармоничной композиции в архитектуре и искусстве . Симметрия является одним из важных средств достижения единства и художественной выразительности композиции в художественном проектировании. Она характерна произведениям архитектуры (Свойственная сооружении в целом или ее части и отдельным деталям) и декоративно-прикладного искусства. Используется также как основной прием построения бордюров и орнаментов [1] . Используются зеркальная, осевая, винтовая, лучевой-винтовая симметрии.

Самой распространенной в архитектуре является зеркальная симметрия. Ей подчинены сооружения Древнего Египта и храмы античной Греции, амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры.

Исламские здания такие как Тадж Махал или Мечеть шейха Лютфуллы является примером комплексного использования симметрии как в конструкции, так и в орнаментации [8] [9] . Мавританские постройки, такие как архитектурно-парковый ансамбль Альгамбра , Украшенные сложными узорами, выполненными с использованием отражений и вращений [10] .

Принцип симметрии очень часто используется совместно с принципом «Золотого сечения» . Таким примером может служить картина Рафаэля «Обручение Марии» (1504) [11] или мозаика Пенроуза .

Симметрия занимает видное место в композициях произведений прикладного искусства, таких как вышивка или резьба по дереву , Где нашли применение осевая , центральная , трансляционная и скользящая виды симметрии.

В литературном творчестве симметрия наблюдается в формах палиндромов - слове, числе, наборе символов, словосочетании или стихотворной строке, одинаково читается в обоих направлениях (слева направо и справа налево) [12] .

Приятное звучание в музыке нередко обуславливается симметричностью мелодии. В музыке есть много моментов, связанных с симметрией, в первую очередь - это нотная нотация .:

• сам нотный стан является симметричным;
• имеет место симметрия мажорного и минорного ладов;
• встречаются фрагменты музыкальных произведений с расположением нот на нотном стане по определенным видам симметрии, а именно [13] :
  • ракохидний движение - симметрия относительно плоскости, перпендикулярной к нотного стана;
  • обращение интервала - выходит из звуковой последовательности, которая испытывает зеркального отражения в плоскости, параллельной средней линии нотного стана;
  • ракохидне обращения - отражение в зеркальной части меняется на противоположную направленность звукового ряда по высоте;
  • трансляционный вид симметрии - музыкальная фраза (мелодия или крупные фрагменты произведения) повторяется, оставаясь неизменной;
  • ракохидне обращения с зеркальным отражением - при этом нотный лист можно повернуть на 180 ° но мелодия останется неизменной.

Одним из первых понятие симметрии в музыке ввел российский и советский музыкальный деятель Е. К. Розенов. В конце XIX века, анализируя произведения Баха он сделал вывод, что у них «царят закон золотого сечения и закон симметрии» [14] .

Симметрия в социальных взаимодействиях [ ред. | ред. код ]

Можно наблюдать симметричную природу социальных взаимодействий , Которые часто сочетаются и с асимметричными действиями в различных контекстах. Объективной основой социального взаимодействия является общность или расхождение интересов , Близких или отдаленных целей, взглядов. Эти взаимодействия включают в себя оценки взаимности, сопереживание , симпатии , упрека , диалога , Уважения, справедливости или мести . Рефлексивная равновесие является балансом, который может быть достигнут через совещательный взаимное корректировки между основными принципами и конкретными принятыми решениями [15] . Симметричные взаимодействия посылают сигналы «мы все одинаковые» в то время как асимметричные взаимодействия выражают мнение «Я исключительным; лучшим чем ты ». Равноправные отношения, например, которые могут регулироваться золотым правилом нравственности , Основанные на симметрии, в то время как силовые отношения (отношения принуждения) базируются на асимметрии [16] . Симметричные отношения могут в определенной степени поддерживаться простыми стратегиями ( теория игр ) Как в симметричных играх, таких как стратегии «зуб за зуб» ( «око за око») [17] .

Предполагается, что тенденция людей видеть цель в симметрии, является одной из причин, почему симметрия часто является неотъемлемой частью символов мировых религий. Некоторые из многих примеров, изображенные на картинке справа.

1. ↑ а б в «Симметрия» // Украинская советская энциклопедия : В 12 т. / Гл. ред. М. П. Бажан ; редкол .: О. К. Антонов и др. - 2-е изд. - К. : Главная редакция Уре , 1974-1985.
2. ↑ Аристотель метафизика ( греч. Μετὰ τὰ φυσικά), кн. I, гл. 5 passim.
3. ↑ Ле Корбюзье Архитектура XX века / Пер. с фр. Изд. Второй. - М .: Прогресс, 1977. - 303 с.
4. ↑ Сироткин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизикы. - Наука, 1979. - 640 с.
5. ↑ Фрауэнфельдер Г., Хенли Э. Субатомная физика. - Мир, 1979. - 736 с.
6. ↑ Глоссарий терминов по химии / Сост. И. Опейда , А. Шило ; Ин-т физико-органической химии и углехимии им. Л. Н. Литвиненко НАН Украины Донецкий национальный университет . -: Вебер, 2008. - 738 с. - ISBN 978-966-335-206-0 .
7. ↑ Cotton, F. Albert Chemical Applications of Group Theory, 3rd edition. New York: Wiley, 1990. - ISBN 978-0471510949
8. ↑ Williams: Symmetry in Architecture . Members.tripod.com (1998-12-31). Retrieved on 2013-04-16.
9. ↑ Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture архивных 7 May 2015 в Wayback Machine .. Math.nus.edu.sg. Retrieved on 2013-04-16.
10. ↑ Derry, Gregory N. (2002). What Science Is and How It Works . Princeton University Press. с. 269-. ISBN 978-1-4008-2311-6 .
11. ↑ Синергетическая парадигма пространства культуры: монография / Наук. - ред. коллегия: В. Д. Шульгина (наук. ред.), И. В. Кузнецова (наук. ред., видп.за вып.), А. В. Яковлев (сост.). - М.: НАКККиМ, 2014. - 400 c. - ISBN 978-966-452-175-5
12. ↑ Сердунич Л. А. Витражи шуток [Текст]: палиндромы / Л. А. Сердунич. - М .: Изд-во Сергея Пантюка, 2013. - 100 с. - (Библиотека украинской палиндрома). - ISBN 978-617-564-017-3
13. ↑ Симметрия в искусстве архивных 31 July 2016 в Wayback Machine . (Рус.)
14. ↑ Розенов Э. К. И. С. Бах (и его род). Биографический очерк. - М., 1911.
15. ↑ Norman Daniels {{Cite SEP | url-id = reflective-equilibrium Reflective Equilibrium // Stanford Encyclopedia of Philosophy
16. ↑ Emotional Competency : Symmetry
17. ↑ Lutus, P. (2008). The Symmetry Principle .

• Зиман С. М., Мосякин С. Л., Булах А. В., Царенко А. М. Иллюстрированный справочник по морфологии цветковых растений. - Ужгород: «Медиум», 2004. - 156 с.
• Вейль Г. Симметрия. - М.: Наука, 1968. - 192 с.
• Банкер Ф., Йенсен П. Симметрия молекул и спектороскопия / Пер. с англ. Панченко Ю.Н., Петрова С.В., Пупышев В.И. и др. - Изд.2-е, перераб. - М.: Мир, Научный мир, 2005. - 763 с. - ISBN 5-03-003546-X . ISBN 5-89176-243-9 , ISBN 0-660-17519-3
• Вигнер Е. Этюды о симметрии / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинский. - М.: Мир, 1972. - 318 с.
• Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в природе и искусстве. Учебное пособие. - второй изд. испр. и доп. - М.: Наука, 1972. - 349 с.
• Шафрановский И. И. Симметрия в природе / И. И. Шафрановский. - Л.: Недра, 1985. - 167 с.
• Иконников А., Степанов Г. Основы архитектурной композиции. - М.: Искусство, 1971. - 224 с.